Question

如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

Answer

【解析】
（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C。

∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A。

∴∠CPE=∠C。∴△PCE是等腰三角形。

（2）∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k。

∴EM=CM•tanC=•k=。

同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣。

由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，EM+FN=+4k﹣=4k，

∴EM+FN=BH。

（3）当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，

∴S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64。

∴。

∴当k=4时，四边形PEBF的面积S与x的函数关系式为。

∵，

∴当x=4时，S有最大值32。

【解析】（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证。

（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH。

（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答。