Question

如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）根据题意，设抛物线的解析式为：，

∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：。

（2）①∵四边形OMPQ为矩形，

∴OM=PQ，即，整理得：t2+5t﹣3=0，

解得（＜0，舍去）。

∴当秒时，四边形OMPQ为矩形。

②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3。

若△AON为等腰三角形，有三种情况：

（I）若ON=AN，如答图1所示，

过点N作ND⊥OA于点D，

则D为OA中点，OD=OA=，

∴t=。

（II）若ON=OA，如答图2所示，

过点N作ND⊥OA于点D，

设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，

在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，

即，解得x1=，x2=0（舍去）。

∴x=，OD=1﹣x=。

∴t=。

（III）若OA=AN，如答图3所示，

过点N作ND⊥OA于点D，

设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，

即，解得x1=，x2=（舍去）。

∴x=，OD=1﹣x=1﹣。

∴t=1﹣。

综上所述，当t为秒、秒，1﹣秒时，△AON为等腰三角形。

【解析】（1）用待定系数法求出抛物线的顶点式解析式。

（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解。

②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，分类讨论，逐一计算。