Question

如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE²+CF²的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

Answer

【解析】
（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF。

∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC，

∴△ABE≌△BCF（AAS）。

∴AE=BF。∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数。

（2）设AP=x，则PD=4﹣x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP。

∴，即。

∴。

∵＜0，当x=2时，DM有最大值为1。

【解析】（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数。

（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的二次函数，求出DM的最大值。