Question

如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°。

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD。

∵在△AOB与△CDA中，，

∴△AOB≌△CDA（ASA）。

∴CD=OA=1，AD=OB=2。

∴OD=OA+AD=3。

∴C（3，1）。

∵点C（3，1）在抛物线上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：。

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=。

∴S△ABC=AB2=。

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），

∴，解得。

∴直线BC的解析式为。

同理求得直线AC的解析式为：。

如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，

则。

在△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由题意得：S△CEF=S△ABC，即： EF•h=S△ABC。

∴，整理得：（3﹣x）2=3。

解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去）。

∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分。

 （3）存在。如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1。

过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形。

过点P作PH⊥x轴于点H，

则易证△PAH≌△BCG。

∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2。

∴P（﹣2，1）。

∵抛物线解析式为：，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上。

∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．。

【解析】（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。

（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；

（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可。