Question

如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PC∥DB；

（2）当t为何值时，PC⊥BC；

（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer

【解析】
（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，

∴DC=5，OC=4，OB=3，

∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP。

∵PC∥DC，∴四边形DBPC是平行四边形。

∴DC=BP=5。∴OP=5﹣3=2。

∵2÷1=2，∴当t为2秒时，PC∥BD。

（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90。

∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°。∴∠CPO=∠BCO。

∴△PCO∽△CBO。∴，即，解得。

∵÷1=，∴当t为秒时，PC⊥BC。

（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：

①当⊙P与直线DC相切时，

如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，

则PM=OC=4=OP，

∵4÷1=4，∴t=4秒。

②如图2，当⊙P与BC相切时，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，∴由勾股定理得：BC=5。

∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM。

∴，即，解得R=12。

∵12÷1=12，∴t=12秒。

③如图3，当⊙P与DB相切时，

根据勾股定理得：，

∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM

∴△ADB∽△MPB。

∴，即，解得。

∵（）÷1=，∴t秒。

综上所述，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，t=4秒或12秒或t=秒。

【解析】（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可。

（2）证△PCO∽△CBO，得出，求出即可。

（3）设⊙P的半径是R，分为①当⊙P与直线DC相切时，②当⊙P与BC相切时，③当⊙P与DB相切时三种情况讨论即可。