Question

如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？

Answer

【解析】
（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。

理由是：设BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。

①若，则，解得：x=。

②若，则，即x2﹣10x+36=0，△=（﹣10）2﹣4×1×36＜0，此方程无解。

∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为。

 （2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，

理由是：设BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。

①若，则，解得：x=。

②若，则，即x2﹣12x+36=0，解得：x1=x2=6。

∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6。

（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。

理由是：设BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。

①若，则，解得：x=。

②若，则，即x2﹣15x+36=0，解得：x1=3，x2=12。

∴存在3个点P ，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12。

（4）设BP=x，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。

∴当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。

①若，则，解得：x=。

②若，则，即x2﹣lx+mn=0。

∵△=（﹣l）2﹣4×1×mn=l2﹣4mn，

∴当l2﹣4mn＜0时，方程没有实数根；当l2﹣4mn=0时，方程有2个相等的实数根；当l2﹣4mn＞0时，方程有2个不相等的实数根。

∴当l2﹣4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；

当l2﹣4mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；

当l2﹣4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点。

【解析】（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可。

（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可。

（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可。

（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当或时使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可。