Question

如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

Answer

【解析】
（1）∵，∴当y=0时，。

解得x1=﹣m，x2=3m。

∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）。

（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，

∴，圆的半径为AB=2m。

∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。

∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m）。

∵二次函数（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），

∴﹣2m=﹣4m2，解得m1=，m2=0（舍去）。

∴二次函数的解析式为，即。

（3）如图，连接CM，

在Rt△OCM中，

∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，

∴。

∴CD=2OC=。

【解析】（1）解关于x的一元二次方程，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标。

（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），则﹣2m=﹣4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入，即可求出二次函数的解析式。

（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍。