Question

已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．

（1）求∠BAC的度数；

（2）求证：AD=CD．

Answer

【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。

∴∠CDB=90°，BD⊥AC。

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。

在△ABD和△CBD中，∵，

∴△ABD≌△CBD（ASA）。∴AB=CB。

∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC=90°。

∴∠BAC=∠C=45°。

（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC，

∴AD=CD。

【解析】

试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数。

（2）由AB=CB，BD⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质，即可证得AD=CD。