Question

如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线经过A，B，C三点，顶点为F．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：

①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；

②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，

∴A（-2，0），B（8，0）。

如图所，连接CE，

在Rt△OCE中，，CE=5，

由勾股定理得：，

∴C（0，－4）。

（2）∵点A（－2，0），B（8，0）在抛物线上，

∴设抛物线的解析式为。

∵点C（0，－4）在抛物线上，

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：，即。

∵。

∴顶点F的坐标为（3，）。

  （3）①∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，

∴若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|=4。

（I）若yM=4，则，

整理得：，解得或。

∴点M的坐标为（，4）或（，4）。

（II）若yM=－4，则，

整理得：，解得x=6或x=0（与点C重合，故舍去）。

∴点M的坐标为（6，－4）。

综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，4）或（，4）或（6，－4）。

②直线MF与⊙E相切。理由如下：

由题意可知，M（6，－4）。

如图，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G，则MG=3，EG=4。

在Rt△MEG中，由勾股定理得：，

∴点M在⊙E上。

由（2）知，F（3，），∴EF=。

∴。

在Rt△MGF中，由勾股定理得：，

在△EFM中，∵，

∴△EFM为直角三角形，∠EMF=90°。

∵点M在⊙E上，且∠EMF=90°，

∴直线MF与⊙E相切。

【解析】（1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标。

（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标。

（3）①△ABC中，底边AB上的高OC=4，若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得点M的坐标。

②如解答图，作辅助线，可求得EM=5，因此点M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形，∠EMF=90°，所以直线MF与⊙E相切。