Question

某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：DP=DQ；

（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

Answer

【解析】
（1）证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，∴∠ADP=∠CDQ。

在△ADP与△CDQ中，∵，

∴△ADP≌△CDQ（ASA）。∴DP=DQ。 

（2）猜测：PE=QE。证明如下：

由（1）可知，DP=DQ。

在△DEP与△DEQ中，∵，

∴△DEP≌△DEQ（SAS）。∴PE=QE。

（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，∴AP=8，BP=2。

与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，∴CQ=AP=8。

与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，∴PE=QE。

设QE=PE=x，则。

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，即：，

解得：，即QE=。

∴。

∵△DEP≌△DEQ，∴S△DEP=S△DEQ=。

【解析】（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP=DQ。

（2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE=QE。

（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ。在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ=。