Question

已知：一元二次方程．

（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）设k＜0，当二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？

Answer

【解析】
（1）证明：∵，

∴关于x的一元二次方程，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根。

（2）令y=0，则。

∵，

∴，即，

解得k=3或k=﹣1。

∵k＜0，∴k=﹣1。

∴此二次函数的解析式是。

（3）由（2）知，抛物线的解析式是，

易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），

∴AB=4，AC=2，BC=2。

∴AC2+BC2=AB2。

∴△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边。

∴外接圆的直径为AB=4。∴﹣2≤m≤2。

【解析】（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定已知方程的根的情况。

（2）利用根与系数的关系列出关于k的方程，通过解方程来求k的值。

（3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围。