Question

在平面直角坐标系中，已知M₁（3，2），N₁（5，﹣1），线段M₁N₁平移至线段MN处（注：M₁与M，N₁与N分别为对应点）．

（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．

（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．

（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．

（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．

Answer

【解析】
（1）（0，2）。

（2）∵N（0，2）在抛物线上，∴k=2。

∴抛物线的解析式为。

（3）∵，

∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。

∵CO：OF=2：，

∴CO=﹣m，FO=m，。

∵，∴。

整理得：m2+m=0。∴m=﹣1或0 。

∵m＜0，∴m=﹣1。

（4）在Rt△ABO中，，

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4

①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B，则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP。

∵S△EHP=S△ABP，∴ =S△EHP=S△BHP=S△ABP。

∴A1H=HP，EH=HB=1。∴四边形A1BPE为平行四边形。

∴BP=A1E=AE=2。

②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意。

③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图3，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP。

∵S△EHP=S△ABP，∴S△EBH=S△EHP==S△ABP。

∴BH=HP，EH=HA1=1。

又∵BE=EA=2，∴EHAP。∴AP=2。

在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2，

∴∠APB=90°。∴BP=。

综上所述，BP=2或。

【解析】

试题分析：（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可：

由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，

由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，

故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）。

（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值。

（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：，用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用得到关于m的方程，求得m的值即可。

（4）分当∠BPE＜∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可。