Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．

（2）求证：AB：AC=BF：DF．

Answer

证明：（1）连接DO、DA，

  ∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°。

∵CE=EA，∴DE=EA。∴∠1=∠4。

∵OD=OA，∴∠2=∠3。

∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°。

∴DE⊥OD。

∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线。

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA。

∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD。

∴。

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO。∴∠3=∠FDB。

∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB。∴。

∴，即AB：AC=BF：DF。

【解析】

试题分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）证△ABD∽△CAD，刘，证△FAD∽△FDB，得，即可得出AB：AC=BF：DF。