Question

如图，已知：如图①，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．

（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；

（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；

（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．

Answer

【解析】
（1）在直线解析式中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1。

∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=。

∴tan∠OAB=。∴∠OAB=60°。∴AB=2OA=2。

∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°。

∴，BF=2EF=2t。

∴AF=AB﹣BF=2﹣2t。

（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形。

若ADEF是菱形，则DE=AD=t．

由DE=2OD，即：t=2（1﹣t），解得t=。

∴t=时，四边形ADEF是菱形。

②此时△AFG与△AGB相似。理由如下：

如答图1所示，连接AE，

∵四边形ADEF是菱形，

∴∠DEF=∠DAF=60°。∴∠AEF=30°。

由抛物线的对称性可知，AG=AE。

∴∠AGF=∠AEF=30°。

在Rt△BEG中，BE=，EG=2，

∴。∴∠EBG=60°。

∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°。

在△AFG与△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，

∴△AFG∽△AGB。

（3）当△ADF是直角三角形时，

①若∠ADF=90°，如答图2所示，

此时AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=。

∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。

∴E（0，），G（2，）。

设直线BG的解析式为y=kx+b，

将B（0，），G（2，）代入得：

，解得。

∴直线BG的解析式为。

令x=1，得，∴M（1，）。

设抛物线解析式为，

∵点E（0，）在抛物线上，

∴，解得。

∴抛物线解析式为，即。

②若∠AFD=90°，如答图3所示，

此时AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得：t=。

∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。

∴E（0，），G（2，）。

设直线BG的解析式为y=k1x+b1，

将B（0，），G（2，）代入得：

，解得。

∴直线BG的解析式为。

令x=1，得y=，∴M（1，）。

设抛物线解析式为，

∵点E（0，）在抛物线上，

∴，解得。

∴抛物线解析式为，即。

综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：或

【解析】

试题分析：（1）首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长。

（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；

如答图1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，证明△AFG与△AGB相似。

（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：

①若∠ADF=90°，如答图2所示．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标，最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。

②若∠AFD=90°，如答图3所示，解题思路与①相同。