Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．

（1）求证：AH=HD；

（2）若cos∠C=，DF=9，求⊙O的半径．

Answer

【解析】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，∴AB⊥CD。∴∠C+∠CBE=90°。

∵EG⊥BC，∴∠C+∠CEG=90°。∴∠CBE=∠CEG。

∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，∴∠CDA=∠DEH。∴HD=EH。

∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，∴AH=EH。∴AH=HD。

（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∴∠BDF=90°。

∵BF是⊙O的切线，∴∠DBF=∠C。

∵cos∠C=，DF=9，∴ 。

设BD=4k，则BF=5k，由勾股定理，得DF=3k。

∴3k=9， k=3。∴BD=4k=12。

∵∠A=∠C，∴sin∠A=。

∴。

∴⊙O的半径为10

【解析】

试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，从而可证得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易证得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论。

（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案。