Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：

①△A₁AD₁≌△CC₁B；

②当x=1时，四边形ABC₁D₁是菱形；

③当x=2时，△BDD₁为等边三角形；

④（0＜x＜2）；

其中正确的是　    　（填序号）．

Answer

①②③④

【解析】

试题分析：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD。∴∠DAC=∠ACB。

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1。

在△A1AD1与△CC1B中，∵AA1=CC1，∠A1=∠ACB，A1D1=CB，

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。①正确；。

②∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°。

∵AB=1，∴AC=2。

∵x=1，∴AC1=1。∴△AC1B是等边三角形。∴AB=BC1。

又AB∥BC1，∴四边形ABC1D1是菱形。故②正确。

③如图所示，可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1为等边三角形，故③正确。

④易得△AC1F∽△ACD，

∴，

解得：（0＜x＜2）；故④正确。

综上可得正确的是①②③④。