Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=－1，

∴直线AB的函数解析式为。

（2）①证明：由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD（SAS）。∴∠BOD=∠CDO。

∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP。

②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE。

∵∠BDE是△ABD的一个外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB。

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB。

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°。∴∠DPE=45°。∴∠DFE=∠DPE=45°。

∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形。

∴DF=DE，即y=x。

（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH.

又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB.

∴。∴FH=2，OD=2BH.

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形。∴OE=FH=2。∴EF=OH=4－OD。

∵DE=EF，∴2＋OD=4－OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，）。

∴直线CD的解析式为。

由得：。

∴点P的坐标为（2，2）。

当BD：BF=1：2时，

连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°。

∴△DEF是等腰直角三角形。

过点F作FG⊥OB于点G，同理可得：△BOD∽△FGB，

∴。∴FG=8，OD=BG。

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形。

∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD。

∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，解得OD=。∴点D的坐标为（0，）。

∴直线CD的解析式为：。

由得：。

∴点P的坐标为（8，－4）。

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，－4）。

【解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可。

（2）①证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP。

②连结PE，由∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x。

（3）分BD：BF=2：1和BD：BF=1：2两种情况讨论即可。