Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer

【解析】
（1）当m=2时，，

把x=0代入，得：y=2，

∴点B的坐标为（0，2）。

（2）延长EA，交y轴于点F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED（AAS）。∴AF=AE。

∵点A（m，），点B（0，m），

∴AF=AE=|m|，，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，∴，即：。∴DE=4。

（3）①∵点A的坐标为（m，），∴点D的坐标为（2m，）。

∴x=2m，y=，

∴y=，

∴所求函数的解析式为：y=。

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），

点P的横坐标为3m，

点P的纵坐标为：，

把P（3m，）代入y=得：

。

解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8。

（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），

点P的横坐标为m，

点P的纵坐标为：，

把P（m，）代入得：

。

解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8。

综上所述：m的值为8或﹣8。

【解析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标。

（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4。

（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式。

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答。