Question

（2013年浙江义乌8分）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C，D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=，求EF的长．

Answer

【解析】
（1）连接OD，

∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD。

∴在Rt△OBD中，。

∴CD=2BD=8。

（2）证明：∵PE是⊙O的切线，∴∠PEO=90°。

∴∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A。

∵OE=OA，∴∠A=∠AEO。∴∠PEF=∠PFE。∴PE=PF。

（3）过点P作PG⊥EF于点G，

∴∠PGF=∠ABF=90°。

∵∠PFG=∠AFB，∴∠FPG=∠A。

∴FG=PF•sinA=13×=5。

∵PE=PF，∴EF=2FG=10。

【解析】（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长。

（2）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF。

（3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案。

考点：切线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质。