Question

如图①，有两个形状相同但大小不同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点，如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点p从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移，设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，（不考虑点P与G、F重合的情况）
（1）当x为何值时，OP∥AC？
（2）你能不能用含x的式子来表示四边形OAHP面积呢？若能，请表示；若不能，请说理由．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．
（2）由四边形AHPO的面积S△AFH-S△OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式．△OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．
（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．
【解析】
（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴，
∴，
∴FG=3cm
∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x==1.5s
∴当x为1.5s时，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：
EF==5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴
∴AH=（x+5），FH=（x+5）
过点O作OD⊥FP，垂足为D
∵点O为EF中点
∴OD=EG=2cm
∵FP=3-x
∴S四边形OAHP=S△AFH-S△OFP
=AH•FH-•OD•FP
=×（x+5）（x+5）-×2×（3-x）
=x2+x+3（0＜x＜3）．

（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24
则S四边形OAHP=×S△ABC
∴x2+x+3=××6×8
∴6x2+85x-250=0
解得x1=，x2=-（舍去）
∵0＜x＜3
∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．