Question

如图，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB²+CD²=    ．

Answer

作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM2=DO2-DM2=4-（）2、ON2=OA2-AN2=4-（）2，所以OM2+ON2=4-（）2+4-（）2=1，由此解得AB2+CD2=28．
【解析】
连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM2+ME2=OE2（勾股定理），
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2；
∵OM2=DO2-DM2=4-（）2；
又∵ON2=OA2-AN2=4-（）2，
∴OM2+ON2=4-（）2+4-（）2=1，
∴AB2+CD2=28．
故答案是：28．