Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分线，分别交圆O于点D，E，且BD=CE，则∠A等于（ ）

A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

Answer

连接AD、BE，求出弧BD=弧CE，推出∠BAD=∠EBC，推出∠CAB=∠ABD+∠ABE，求出∠CAB=∠ABD+∠ACE，根据角平分线性质求出∠ABC+∠ACB=2∠CAB，根据三角形的内角和定理得出3∠CAB=180°，求出即可．
【解析】
连接AD、BE，
∵BD=CE
∴弧BD=弧CE，∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BAD=∠CAD+∠CAB，∠EBC=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∴∠CAD+∠CAB=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∵∠CAD=∠CBD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ABE，
∵∠ABE=∠ACE（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ACE（等量代换）
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB
∴∠CAB=（∠ABC+∠ACB）
∴∠ABC+∠ACB=2∠CAB
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠CAB+2∠CAB=180°，
3∠CAB=180°
∴∠CAB=60°．
故选C．