Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；
（2）已知等腰△ABC的一边a=1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer

（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）分b=c，b=a两种情况做．
证明：（1）∵△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，
∴方程总有实根；
（2）①当b=c时，则△=0，
即（k-2）2=0，
∴k=2，
方程可化为x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而b=c=2，
∴L△ABC=5；

②当b=a=1，
∵x2-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k=1，
∴c=2，
∵a+b=c，
∴不满足三角形三边的关系，舍去；
综上所述，△ABC的周长为5．