Question

如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是______形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是______形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是______形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）

Answer

（1）由于四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；
（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明有一组邻边相等；
（3）由（1）（2）知四边形AEDF既是矩形，又是菱形，所以它是正方形．
【解析】
（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∴▱AEDF是菱形；

（3）由（1）知四边形AEDF是矩形，由（2）知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形．