Question

如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A₁B₁．
（1）在图中画出直线A₁B₁．
（2）求出过线段A₁B₁中点的反比例函数解析式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据旋转的性质找出点A、B的对应点A1、B1，然后作直线A1、B1即可；
（2）先求出线段A1B1中点的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）根据直线AB求出k=2值，再根据平行线的k值相等设出与直线AB平行的直线的解析式，与反比例函数解析式联立求解，根据非负数大于等于0求出判别式△＞0，直线与反比例函数解析式有两个交点，所以此直线不存在．
【解析】
（1）根据题意，点A1（0，1），B1（2，0），
如图，直线A1B1即为所求；

（2）∵点A1（0，1），B1（2，0），
∴线段A1B1中点的坐标为（1，），
设反比例函数解析式为y=，
=，
解得m=，
反比例函数解析式为y=；

（3）设直线AB的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y=2x+2，
∴与直线AB平行的直线为y=2x+b，
与反比例函数解析式联立得，，
∴4x2+2xb-1=0，
∴△=b2-4ac=（2b）2-4×4×（-1）=4b2+16，
∵b2≥0，
∴4b2+16＞0，
∴△＞0，
∴直线与反比例函数图象有两个交点，
∴与直线AB平行与双曲线只有一个交点的直线不存在．