Question

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，且CD=CE，连BE交AD于F．求证：BF⊥AD．
（2）如图2，正方形AGBC，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，且CD=CE，连BE交AD于F．连CF，利用图1或图2，证明：∠BFC=45°．
（3）在图2中，若，直接写出=______

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质证明三角形全等，可以得出∠BEC=∠D，再根据角的关系就可以求出∠BFD=90°而得出结论；
（2）延长AD至H，使AH=BF，由条件可以证明△ACH≌△BCF，可以得出CF=CH，∠BCF=∠ACH，从而可以∠FCH=90°，进而得出∠CFH=45°，从而得出结论；
（3）由，设AC=x，AF=x，根据正方形的性质及勾股定理可以求出AB=x，BF=3x，就有AH=3x，就有FH=2x，根据勾股定理就可以求出CF=x，从而可以求出结论．
【解析】
（1）在△ACD和△BCE中，
，
∴三角形ACD≌三角形BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠DAC+∠D=90°，
∴∠EBC+∠D=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥AD．
（2）延长AD至H，使AH=BF．
在△ACH和△BCF中，

∴△ACH≌△BCF，
∴CF=CH，BF=AH，∠ACH=∠BCF，
∴∠ACH-∠ACF=∠BCF-∠ACF，
∴∠ACB=∠FCH．
∵∠ACB=90°，
∴∠FCH=90°，
∴∠H=∠CFH=45°．
∵∠BFD=90°，
∴∠BFC=45°．
（3）∵，
∴AC=x，AF=x，
∴BC=x，在Rt△中，由勾股定理得：
AB=x．
∵∠BFD=90°，
∴∠BFA=90°，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：
BF==3x．
∴AH=3x，
∴FH=2x，
在Rt△FCH中，由勾股定理得：
CF2+CH2=4x2，
∴CF2+CF2=4x2，
∴CF=x，
∴=，
故答案为：．