Question

某商场为迎接元旦，计划以单价40元的价格购进一批商品，再以单价50元出售，每天可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件（每件售价不能高于56元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每天的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量X的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为2210元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？

Answer

（1）根据y=200-10（x-50）求出即可．
（2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，当y=2210时，代入（1）中求出x的值即可得出答案；
（3）根据（2）中的函数关系式，利用配方法求得利润最大值即可．
【解析】
（1）设每件售价定为x元时，每天的销量为y件，
根据题意得出：y=200-10（x-50）=-10x+700（0≤x＜70）；

（2）设每件售价定为x元时，才能使每天利润为2210元，
w=（x-40）[200-10（x-50）]=-10x2+1100x-28000，
则2210=-10x2+1100x-28000，
解得：x1=53，x2=57（不合题意舍去）．
答：应将每件商品售价定为53元时，能使每天利润为2210元．

（3）设利润为y元，则
w=-10x2+1100x-28000=-10（x-55）2+2250，
故当每件商品售价定为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．