Question

如图，直角梯形BCDF中，∠BCD=90°，BC∥FD，CA⊥BD于A，点E在FD上，且BF=BE，∠BEA=∠ACD，下列结论：
①∠ACD=∠CBD；②∠FBC+∠CBE=180°；③DE+DF=2BC；④BC=BE．
其中正确的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据∠ACD+∠BCA=90°和∠CBD+∠BCA=90°即可推出∠ACD=∠CBD；根据∠FBC+∠F=180°和∠F=∠BEF=∠CBE推出即可；过B作BH⊥DF于H，求出BC=DH，根据等腰三角形性质求出FH=HE，即可得出DE+DF=2BC；证△BAC∽△BCD和△BEA∽△BDE，得出比例式，即可得出BC2=BE2=BA×BD，即可得出BC=BE．
【解析】
∵∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠BCA=90°，
∵CA⊥BD，
∴∠BAC=90°，
∴∠CBD+∠BCA=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴①正确；
∵BC∥FD，
∴∠CBE=∠BEF，∠F+∠FBC=180°，
∵BF=BE，
∴∠F=∠BEF，
∴∠FBC+∠CBE=180°，
∴②正确；
过点B作BH⊥EF于点H，
∵BF=BE，
∴EH=FH，
∵直角梯形BCDF中，∠BCD=90°，BC∥FD，
∴四边形BCDH是矩形，
∴BC=DH=EH+DE，
∴DE+DF=DH+FH+DE=DH+DH=BC+BC=2BC，
∴③正确；
∵∠BCD=90°，CA⊥BD，
∴∠CAB=∠CAD=∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，∠DCA+∠CDB=90°，
∴∠DCA=∠CBD，
∵BC∥DF，
∴∠CBD=∠BDE，
∵∠AEB=∠DCA，
∴∠BDE=∠BEA，
∵∠EBA=∠DBA，
∴△BEA∽△BDE，
∴=，
∴BE2BA×BD，
∵∠CBA=∠CBD，∠CAB=∠DCB，
∴△BAC∽△BCD，
∴=，
∴BC2=BA×BD，
∴BE2=BC2，
∴BE=BC，∴④正确；
故选D．