Question

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．如图，正方形ABCD是反比例函数y=图象上的其中一个伴侣正方形．则这个伴侣正方形的边长是    ．

Answer

过C作CF垂直于y轴，过D作DE垂直于x轴，利用垂直的定义得到三个角为直角，再由正方形的性质得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得到三个角相等，利用AAS得出△BFC≌△AOB≌△DAE，利用全等三角形的对应边相等得到FC=OB=AE，FB=OA=DE，再由C、D都在反比例函数y=图象上，故设C（a，），D（b，），由OA=OE-AE列出关系式，再由OF=FB+OB列出另一个关系式，联立两关系式求出a与b的值，确定出CF与FB的长，在直角三角形FCB中，利用勾股定理求出BC的长，即为正方形ABCD的边长．
【解析】
过C作CF⊥y轴，交y轴于点F，过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，
∴∠CFB=∠DEA=∠AOB=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=AB=AD，∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠FBC+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAE=90°，
∴∠FCB=∠ABO=∠DAE，
∴△BFC≌△AOB≌△DAE，
∴FC=OB=AE，FB=OA=DE，
由C、D都在反比例函数y=图象上，故设C（a，），D（b，），
∴FC=OB=AE=a，FB=OA=DE=，
又FB=DE=OA=OE-AE=b-a，
∴=b-a，即b2-ab=2①，
又OF=FB+OB=，
∴b-a+a=，即ab=2②，
②代入①得：b2=4，
解得：b=2，
将b=2代入②得：a=1，
∴CF=1，FB=b-a=1，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC==，
则这个伴侣正方形的边长为．
故答案为：