Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．

Answer

（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=，也即得出了正方形EHGF的面积．
证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．

（2）连接EG．
在梯形ABCD中，
∵E、G分别是AB、DC的中点，
∴EG=（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴EH2=，即四边形EFGH的面积为．