Question

如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

（1）求AB的长；
（2）求CD的所在直线的函数关系式；
（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S_△PBE=S_△ABO，求此时点P的坐标．
（4）在（3）中，若动点P到达点A后沿AD方向以原速度继续向点D运动，PE与DC边交于点F，如图（2），是否存在这样的t值，使得S_△PBF=S_△ABO？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先解一元二次方程x2-7x+12=0求得OA、OB的长，再运用勾股定理即可求得AB的长；
（2）先由（1）中OA、OB的长得出A、B两点的坐标，再根据平行四边形的性质得到C、D两点的坐标，然后利用待定系数法即可求出CD的所在直线的函数关系式；
（3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的长，再根据S△PBE=S△ABO，列出关于t的方程，解方程即可；
（4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根据△PDF∽△ECF，得出PF=，然后由S△PBF=S△ABO列出关于t的方程，解方程即可．
【解析】
（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理，得AB=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A点坐标为（0，4），B点的坐标为（-3，0），
∵▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，
∴D点坐标为（6，4），BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴C点坐标为（3，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，则
6k+b=4，3k+b=0，
k=，b=-4，
故直线CD的解析式为y=x-4；

（3）如图1．∵PE∥OA，
∴△PBE∽△ABO，
∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
∴BE=t，PE=t，
∵S△PBE=S△ABO，
∴×t×t=××3×4，
解得t=±（负值舍去），
∴OE=OB-BE=3-×=3-，PE=×=，
∴此时点P的坐标为（-3+，）；

（4）存在这样的t值，能够使得S△PBF=S△ABO．理由如下：
如图2．∵BA+AP=t，
∴AP=t-5，
∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
∵PD∥CE，
∴△PDF∽△ECF，
∴PD：EC=PF：EF，
∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
（11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
∴PF=．
∵S△PBF=S△ABO，
∴PF×BE=××3×4，
∴××（t-2）=2，
整理，得t2-13t+25=0，
解得t=（负值舍去）．
故存在t=，使得S△PBF=S△ABO．