Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的边长为2cm，其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点E与点B重合．
（1）请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC重叠部分面积的大小；
（2）设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y（cm²）．
①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；
②在该正方形整个运动过程中，求当x为何值时，y=．

Answer

（1）运动6秒时，AB正好与正方形的对角线重合（F与B重合），那么重叠的面积正好是正方形面积的一半．
（2）①当x=6时，B与F重合，当x=8时，E与B重合，因此这期间，重叠的部分是个三角形，可用x表示出两直角边，然后得出x、y的函数关系式．
②可根据x的不同取值范围和（1）（2）①中得出的结论进行判断．
【解析】
（1）如图1，重叠部分的面积为×22=2cm2

（2）①当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8，如图2，

当6＜x＜8时，设正方形DEFG与AB交于点M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重叠部分面积：y=S△MEB=•EB2=（8-x）2
②在正方形运动过程中，分四种情况：当0＜x＜2时，如图3，

重叠部分面积y=2x，且0＜y＜4
令y=，得2x=，解得x=
当2≤x≤4时，如图4，

重叠部分面积都为4cm2，此时y≠
当4＜x≤6时，如图5，

易见重叠部分面积y随x的增大而减小
由上面得出的结论知当x=4时，y=4；由（1）知当x=6时，y=2
∴2≤y＜4，此时y≠
当6＜x＜8时，由（2）①已求得y=（8-x）2=（x-8）2，
∵y随x的增大而减小，又当x=6时，y=2，当x=8时，y=0时，
∴0＜y＜2
令y=（x-8）2=，解得x1=7，x2=9（不合题意，舍去）
∴x=7
综上，当x=或x=7时，y=．