Question

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．

Answer

（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值；
（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．
【解析】
（1）根据题意得
[x-（k+1）][x-（k+2）]=0，
解得，x1=k+1，x2=k+2，
若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，
那么有（k+1）2+（k+2）2=52，
解得k1=2，k2=-5（不合题意舍去），
∴k=2；
（2）①如果AB=AC，△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
4k2+12k+9-4k2-12k-8=1≠0，
不可能是等腰三角形．
②如果AB=5，或者AC=5
x1=5，52-（2k+3）×5+k2+3k+2=0
k2-7k+12=0
（k-4）（k-3）=0
k=4或者k=3
k=4时：
x2-11x+30=0
（x-5）（x-6）=0，∴AB=5，AC=6周长L=5+5+6=16
k=3时：
x2-9x+20=0
（x-4）（x-5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14．