Question

如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC．
（1）求证：△AEF≌△DCE．
（2）若DE=3cm，矩形ABCD的周长为30cm，求AE的长．

Answer

（1）根据矩形的每一个角都是直角求出∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，然后根据矩形的周长公式列式求解即可．
（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
则∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
∵，
∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）【解析】
∵△AEF≌△DCE，
∴AE=CD，
矩形ABCD的周长=2（AD+CD）=2（AE+DE+CD）=2（AE+DE+AE）=2（2AE+DE），
∵DE=3cm，矩形ABCD的周长为30cm，
∴2（2AE+3）=30，
解得AE=6cm．