Question

梯形ABCD中，AD∥BC，P，M，N分别为AD，AB，CD上的点，且PM∥BD，PN∥AC，
（1）求证：；
（2）若AC⊥BD，AC=BD=12，设PN=x，△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当x取什么值时，△PMN的面积最大？并指出此时P点在线段AD上什么位置．

Answer

（1）PM∥BD，PN∥AC，△AMP∽△ABD，△DPN∽△DAC，得=①；=②，①+②化简即可得证；
（2）根据题给条件证明∠MPN为直角，然后利用（1）中的结论求出PM的长，继而利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据（2）中得出的y与x的函数关系式求出最值．
【解析】
（1）∵PM∥BD，PN∥AC，
∴△AMP∽△ABD，得=  ①
同理可得△DPN∽△DAC，=  ②
①+②得：
得+=+==1
即：；

（2）∵PM∥BD，PN∥AC，AC⊥BD，
∴∠MPN为直角，
∵AC=BD=12，PN=x，，
∴PM=12-x，
∴△PMN的面积y=×x（12-x）=-x2+6x；

（3）由（2）知：y=-（x-6）2+18，
当x=6时，ymax=18，此时点P为线段AD的中点．