Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C₁上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m的值为    ．

Answer

抛物线C1、C2关于y轴对称，那么它们的顶点A、B也关于y轴对称，所以AB∥x轴；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，那么CP也必须与x轴平行，即点C、P的纵坐标相同，代入抛物线C1的解析式中，就能确定点P的坐标，此时能发现AB=CP，即四边形APCB中，AB、CP平行且相等，即该四边形APCB是平行四边形，只要再满足AP=CP（即一组邻边相等），就能判定该四边形是菱形，因此先用m表达出AP、CP的长，再列等式求出m的值．
【解析】
由抛物线C1：y=-x2+2mx+1知，点A（m，m2+1）、C（0，1）；
∵抛物线C1、C2关于y轴对称，
∴点A、B关于y轴对称，则AB∥x轴，且B（-m，m2+1），AB=|-2m|；
若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则  AB∥CP；
在抛物线C1：y=-x2+2mx+1中，当y=1时，-x2+2mx+1=1，解得 x1=0、x2=2m，
∴点P（2m，m2+1）；
∴AB=CP=|2m|，又AB∥CP，则四边形APCB是平行四边形；
若四边形APCB是菱形，那么必须满足AP=CP，即：
（2m）2=（m-0）2+（m2+1-1）2，即：m2=3，
解得 m=±．
故答案为：±．