Question

已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？（9分）

Answer

（1）先计算△，化简得到△=（2k-3）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=2k-1，x2=2，则可设b=2k-1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，
分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
（1）证明：△=（2k+1）2-4×1×4（k-）
=4k2-12k+9
=（2k-3）2，
∵无论k取什么实数值，（2k-3）2≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）∵x=，
∴x1=2k-1，x2=2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k-1，c=2，
当a、b为腰，则a=b=1，而a+b=c，所以这种情况不成立，
当b、c为腰，则2k-1=2，解得k=，
此时三角形的周长=2+2+1=5．