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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,A...

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形;
(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时,求∠BQP的正切值;
(4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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(1)点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形,根据梯形的面积公式就可以利用t表示,就得到S与t之间的函数关系式. (2)以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况: ①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ. 在Rt△PMQ中根据勾股定理,就得到一个关于t的方程,就可以求出t. (3)根据相似三角形对应边成比例可列式求出t,从而根据正切的定义求出值. (4)首先假设存在,然后再根据相似三角形对应边成比例求证. 【解析】 (1)如图,过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形. ∴PM=DC=12. ∵QB=16-t, ∴S=×12×(16-t)=96-6t(0≤t<16); (2)由图可知:CM=PD=2t,CQ=t. 以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况: ①若PQ=BQ. 在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122, 由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2, 解得t=; ②若BP=BQ. 在Rt△PMB中,BP2=(16-2t)2+122. 由BP2=BQ2得:(16-2t)2+122=(16-t)2 即3t2-32t+144=0. 由于△=-704<0, ∴3t2-32t+144=0无解, ∴PB≠BQ. ③若PB=PQ. 由PB2=PQ2,得t2+122=(16-2t)2+122 整理,得3t2-64t+256=0. 解得t1=,t2=16(舍去) 综合上面的讨论可知:当t=秒或t=秒时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形. (3)如图,由△OAP∽△OBQ,得. ∵AP=2t-21,BQ=16-t, ∴2(2t-21)=16-t. ∴t=. 过点Q作QE⊥AD,垂足为E. ∵PD=2t,ED=QC=t, ∴PE=t. 在Rt△PEQ中,tan∠QPE=. 又∵AD∥BC, ∴∠BQP=∠QPE, ∴tan∠BQP=; (4)设存在时刻t,使得PQ⊥BD. 如图,过点Q作QE⊥AD于E,垂足为E. ∵AD∥BC ∴∠BQF=∠EPQ, 又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°, ∴∠BQF=∠BDC, ∴∠BDC=∠EPQ, 又∵∠C=∠PEQ=90°, ∴Rt△BDC∽Rt△QPE, ∴,即. 解得t=9. 所以,当t=9秒时,PQ⊥BD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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