因为Rt△ABC的∠A、∠B两个角为锐角,所以其正切值都大于零.根据正切值的定义和已知条件可知,锐角A、B的正切值之积为1,又因为锐角A、B的正切值之积正好等于一元二次方程mx2+(2m-9)x+(m2-2)=O的两根之积,由此得到关于m的方程,从而可以求出m的值.
【解析】
∵∠A、∠B为Rt△ABC的两个锐角,
∴tanA>0,tanB>0,且tanA•tanB=1.
又∵tanA、tanB是方程mx2+(2m-9)x+(m2-2)=0的两个根,
根据根与系数的关系可得:tanA•tanB=,
∴.
解得m1=-1,m2=2.
当m=-1时,tanA+tanB=-11<0,
这与tanA>0,tanB>0相矛盾,所以m=-1不合题意,舍去;
当m=2时,tanA+tanB=>0.
又△>0,
∴m=2.