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已知:如图①,在▱ABCD中,O为对角线BD的中点.过O的直线MN交直线AB于点...

已知:如图①,在▱ABCD中,O为对角线BD的中点.过O的直线MN交直线AB于点M,交直线CD于点N;过O的另一条直线PQ交直线AD于点P,交直线BC于点Q,连接PN、MQ.
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(1)试证明△PON与△QOM全等;
(2)若点O为直线BD上任意一点,其他条件不变,则△PON与△QOM又有怎样的关系?试就点O在图②所示的位置,画出图形,证明你的猜想;
(3)若点O为直线BD上任意一点(不与点B、D重合),设OD:OB=k,PN=x,MQ=y,则y与x之间的函数关系式为______
(1)根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ,△PON≌△QOM,然后利用全等三角形的性质得到PO=QO,MO=NO,然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题; (2)点O为直线BD上任意一点,则△MOQ∽△NOP.根据AP∥BQ,BM∥CN可以得到比例线段,而∠NOP=∠MOQ,可以证明△MOQ∽△NOP了; (3)根据(2)和已知可以得到,根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式. (1)证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC, ∴∠PDO=∠QBO. ∵∠DOP=∠BOQ,DO=BO, ∴△DOP≌△BOQ. ∴PO=QO.(2分) 同理MO=NO. ∵∠PON=∠QOM, ∴△PON≌△QOM.(4分) (2)【解析】 画图.(5分) △MOQ∽△NOP.(6分) ∵AP∥BQ,BM∥CN, ∴OD:OB=OP:OQ,OD:OB=ON:OM. ∴OP:OQ=ON:OM.(7分) ∴∠NOP=∠MOQ. ∴△MOQ∽△NOP.(8分) (3)【解析】 根据(2)和已知可以得到, ∴y=.(10分)
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考点分析:
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(北师大版)已知:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图1摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点.将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H.
(1)当α=30°时(如图2),求证:AG=DH;
(2)当α=60°时(如图3),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由;
(3)当0°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图④说明理由.
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如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),PE上BP,P为垂足,PE交DC于点E.
(1)△ABP和△DPE是否相似?请说明理由;
(2)设AP=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;
(3)请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形?如果能,求出AP的长;如果不能,请说明理由;
(4)请你探索在点P的运动过程中,△BPE能否构成等腰三角形?如果能.求出AP的长;如果不能,请说明理由.

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如图,平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC的延长线于点E,交CD于点F,AB=5,BC=2,求CF的长.

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如图,在△ABC中,AC>BC,D是AC边上一点,连接BD.
(1)要使△CBD∽△CAB,还需要补充一个条件是______;(只要求填一个)
(2)若△CBD∽△CAB,且AD=2,BC=manfen5.com 满分网,求CD的长.

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如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点E(与点A,C不重合)在AC边上,EF∥AB交BC于F点.
(1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长;
(2)当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长;
(3)试问在AB上是否存在点P,使得△EFP为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出EF的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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