Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若b=2，则方程ax²+bx+c=0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x²-bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，则b²-4ac=（2ax+b）²，其中正确的（ ）
A．只有①②③
B．只有①②④
C．①②③④
D．只有③④

Answer

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x．
【解析】
①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2-4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2-4ac＞0
方程x2-bx+ac=0中根的判别式也是b2-4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，
当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；
④若x是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x=，
把x的值代入（2ax+b）2，可得b2-4ac=（2ax+b）2，
综上所述其中正确的①②④．
故选B