Question

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO=，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）

Answer

（1）OM的长是1，小于矩形的宽，也小于OB的长，所以点P只能是OM的垂直平分线与AD的交点；
（2）OM的长是4，等于矩形的宽，所以点P可以是过O、M的垂线与AD的交点，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长，所以点P也可以在AB上；
（3）OM的长是5，大于矩形的宽，所以点P可以在过O、M的垂线与AD的交点的两侧各一个，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长也大于MC的长，所以点P也可以在AB和CD上，共有7个．
【解析】
（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；
点P的坐标为（，4）；

（2）符合条件的等腰△OMP有4个．
如图②，在△OP1M中，OP1=OM=4，
在Rt△OBP1中，BO=，
BP1===，
∴P1（-，）；（5分）
在Rt△OMP2中，OP2=OM=4，
∴P2（0，4）；
在△OMP3中，MP3=OP3，
∴点P3在OM的垂直平分线上，
∵OM=4，
∴P3（2，4）；
在Rt△OMP4中，OM=MP4=4，
∴P4（4，4）；

（3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个．
点P的位置如图③所示．