Question

本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
甲题：关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β．
（1）求k的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．
乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer

甲题：（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）利用根与系数的关系，用含有k是式子表达出两根和、两根积，代入所给方程，即可确定k的值，进而求出所求代数式的值．
乙题：（1）由于ABCD为正方形，所以AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，所以AE=ED，所以，又因为DF=DC，所以，所以，所以△ABE∽△DEF．
（2）由于ABCD为正方形，所以ED∥BG，所以=，又因为DF=，正方形的边长为4，所以ED=2，CG=6，所以BG=BC+CG=10．
甲题：
【解析】
（1）∵方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（2K-3）2-4×1×K2＞0，
解得：k＜；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k2，
∵α+β+αβ=6，
∴k2-2k+3-6=0，
解得k=3或k=-1，
由（1）可知：k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1
故（α-β）2+3αβ-5=（α+β）2-αβ-5=19．

乙题：
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
又∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF．
（2）【解析】
∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，∴=，
又∵DF=正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
BG=BC+CG=10．