Question

有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度．
（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

Answer

（1）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A2A的大小．
【解析】
（1）BD=MF，BD⊥MF．（1分）
延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分）
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分）

（2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，
则∠BAB1=180°-∠B1AD1-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK==75°，
∴∠BAB1=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度数为60°或15°（答对一个得2分）（7分）

（3）由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x（如图3），
在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8，
∴A2M2=4，A2F2=4，∴AF2=4-x．
∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，
∴AP=AF2•tan30°=4-x．
∴PD=AD-AP=4-4+x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分）
∴．（10分）
∴，解得x=6-2．（11分）
即A2A=6-2．
答：平移的距离是（6-2）cm．（12分）