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已知:如图,在△ABC中,D为AB边上一点,∠A=36°,AC=BC,AC2=A...

已知:如图,在△ABC中,D为AB边上一点,∠A=36°,AC=BC,AC2=AB•AD.
(1)试说明:△ADC和△BDC都是等腰三角形;(2)若AB=1,求AC的值;
(3)试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形.(标明各角的度数)

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(1)根据等腰三角形的判断(等角对等边),通过证明△ABC∽△CAD得出对应角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形;(2)由(1)知BD=BC=AC,及AC2=AB•AD,可以求AC的值; (3)等腰梯形的性质,结合等腰三角形的判定,上底=腰,底角=72°的等腰梯形有8个等腰三角形. 【解析】 (1)在△ABC中,AC=BC, ∴∠B=∠A=36°,∠ACB=108° 在△ABC与△CAD中,∠A=∠B=36° ∵AC2=AB•AD ∴ ∴△ABC∽△CAD ∴∠ACD=∠A=36° ∴∠CDB=72°,∠DCB=108°-36°=72° ∴△ADC和△BDC都是等腰三角形 (2)设AC=x,则x2=1×(1-x) 即x2+x-1=0, ∴x=, ∴AC=; (3)说明:按照画出的梯形中,有4个,6个和8个等腰三角形三种情况分别给分 ①有4个等腰三角形得(1); ②有6个等腰三角形,得(2); ③有8个等腰三角形,得(3).
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考点分析:
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在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°(A,D,E按逆时针方向).
(1)如图1,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
①求证:△ABD∽△DCE;
②当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
(2)①如图2,若点D在BC的延长线上运动,DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E,是否存在点D,使△ADE'是等腰三角形?若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由;
②如图3,若点D在BC的反向延长线上运动,是否存在点D,使△ADE是等腰三角形?若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由.
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如图,在△ABC中,AB=AC,DE=EC,DH∥BC,EF∥AB,HE的延长线与BC的延长线相交于点M,点G在BC上,且∠1=∠2,不添加辅助线,解答下列问题:
(1)找出一个等腰三角形;(不包括△ABC)
(2)找出三对相似三角形;(不包括全等三角形)
(3)找出两对全等三角形,并选出一对进行证明.

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阅读下列材料,按要求解答问题:
如图1,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60度.小明通过以下计算:由题意,∠B=30°,∠C=90°,c=2b,a=manfen5.com 满分网b,得a2-b2=(manfen5.com 满分网b)2-b2=2b2=b•c.即a2-b2=bc.于是,小明猜测:对于任意的△ABC,当∠A=2∠B时,关系式a2-b2=bc都成立.
(1)如图2,请你用以上小明的方法,对等腰直角三角形进行验证,判断小明的猜测是否正确,并写出验证过程;
(2)如图3,你认为小明的猜想是否正确?若认为正确,请你证明;否则,请说明理由;
(3)若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数,且∠A=2∠B,请直接写出这个三角形三边的长,不必说明理由.

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如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=manfen5.com 满分网OA=manfen5.com 满分网,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△A'EF,求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积.

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如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,有下面4个结论:
①BD是∠ABC的角平分线;
②△BCD是等腰三角形;
③△ABC∽△BCD;
④△AMD≌△BCD.
(1)判断其中正确的结论是哪几个?
(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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