Question

如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC，已知△ACD的周长为32，△ABD的周长为24，则△ABC的周长为（ ）

A．50
B．48
C．44
D．40

Answer

在Rt△ABC中，AD⊥BC，易证得△ABD、△CAD、△CBA都相似．根据△ACD和△ABD的周长，可求出两三角形的相似比，也就求出了AB、AC的比例关系，可设未知数，分别表示出AB、AC、BC的长，进而可表示出AD、BD的长；然后可在△ABD中，根据△ABD的周长求出未知数的值，也就求出了AB、AC、BC的长，由此可求出△ABC的周长．
【解析】
∵在Rt△ABC中，AD⊥BC
∴∠CAB=∠CDA=90°，∠C=∠C
∴△ABC∽△DAC
同理得：△ABC∽△DBA
∴△ABC∽△DBA∽△DAC
∴
∵△ACD的周长为32，△ABD的周长为24
∴===
∴设AB=3x，AC=4x
∴BC=5x，
∴
∴BD=
∵AD2+BD2=AB2，∴AD=
∴3x++=24，∴x=
∴△ABC的周长为5x+4x+3x=12x=40．
故本题选D．