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如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°,过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E,连接OE,DE=manfen5.com 满分网AB,OD=2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比manfen5.com 满分网
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;
②求弦CE的长;
③在直线AB或CD上是否存在点P(点C、D除外),使△POE是黄金三角形?若存在,画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.

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(1)根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系,列方程求解; (2)①结合(1)求得各个角的度数,根据题意进行判断; ②根据黄金比求值计算; ③此题要分别考虑OE为底和腰的情况. 【解析】 (1)∵AB是⊙O的直径,DE=AB, ∴OA=OC=OE=DE, 则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC, 设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x, 又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°, ∴x+2x=108,x=36°. ∴∠CDB=36°. (2)①有三个:△DOE,△COE,△COD. ∵OE=DE,∠CDB=36°, ∴△DOE是黄金三角形; ∵OC=OE,∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°. ∴△COE是黄金三角形; ∵∠COB=108°, ∴∠COD=72°; 又∠OCD=2x=72°, ∴∠OCD=∠COD. ∴OD=CD, ∴△COD是黄金三角形; ②∵△COD是黄金三角形, ∴, ∵OD=2, ∴OC=-1, ∵CD=OD=2,DE=OC=-1, ∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-; ③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3, 如图所示, ⅰ以OE为底边的黄金三角形:作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2; ⅱ以OE为腰的黄金三角形:点P3与点A重合.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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