Question

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

Answer

（1）本题要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（2）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值就是题目所求的值．
（3）可过P作PM⊥BC于M，先在直角三角形PQM中，用t表示出x，然后将x替换掉（2）中得出的y，t的函数关系式中t的值，即可得出y，x的函数关系式．
【解析】
（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
3-t=t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB•sin∠B=（3-t），
∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3-t），
∴y=S△ABC-S△PBQ，
=×32×-•t•（3-t），
=t2-t+，
∴y与t的关系式为y=t2-t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC=S△ABC，
∴t2-t+=××32×，
∴t2-3t+3=0，
∵（-3）2-4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．

（3）在Rt△PQM中，∵MQ=|BM-BQ|=|（1-t）|，
MQ2+PM2=PQ2，
∴x2=[（1-t）]2+[（3-t）]2，
=（t2-2t+1）+（9-6t+t2），
=（4t2-12t+12）=3t2-9t+9，
∴t2-3t=（x2-9），
∵y=t2-t+，
∴y=t2-t+=×（x2-9）+=x2+，
∴y与x的关系式为y=x2+．