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在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合...

在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切;
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
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(1)由于三角形PMN和AMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似,根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积; (2)当圆O与BC相切时,O到BC的距离就是MN的一半,那么关键是求出MN的表达式,可根据三角形AMN和三角形ABC相似,得出MN的表达式,也就求出了O到BC的距离的表达式,如果过M作MQ⊥BC于Q,那么MQ就是O到BC的距离,然后在直角三角形BMQ中,用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ,然后让这两表示MQ的含x的表达式相等,即可求出x的值; (3)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形ABC的中位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论: ①当0<x≤2时,此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)中已经求出,即可的x,y的函数关系式.②当2<x<4时,如果设PM,PN交BC于E,F,那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMNF又是个平行四边形,可得出FN=BM,也就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照(1)的方法可求出三角形PEF的面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了y,x的函数关系式.然后根据两种情况得出的函数的性质,以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可. 【解析】 (1)∵MN∥BC, ∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴△AMN∽△ABC. ∴,即; ∴AN=x; ∴S=S△MNP=S△AMN=•x•x=x2.(0<x<4) (2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,则AO=OD=MN. 在Rt△ABC中,BC==5; 由(1)知△AMN∽△ABC, ∴,即, ∴MN=x ∴OD=x, 过M点作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD=x, 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角, ∴△BMQ∽△BCA, ∴, ∴BM=x,AB=BM+MA=x+x=4 ∴x=, ∴当x=时,⊙O与直线BC相切; (3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点. ∵MN∥BC, ∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB, ∴△AMO∽△ABP, ∴, ∵AM=MB=2, 故以下分两种情况讨论: ①当0<x≤2时,y=S△PMN=x2, ∴当x=2时,y最大=×4=, ②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F, ∵四边形AMPN是矩形, ∴PN∥AM,PN=AM=x, 又∵MN∥BC, ∴四边形MBFN是平行四边形; ∴FN=BM=4-x, ∴PF=x-(4-x)=2x-4, 又∵△PEF∽△ACB, ∴, ∴S△PEF=(x-2)2; y=S△MNP-S△PEF=x2-(x-2)2=-x2+6x-6, 当2<x<4时,y=-x2+6x-6=-(x-)2+2, ∴当x=时,满足2<x<4,y最大=2. 综上所述,当x=时,y值最大,最大值是2.
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考点分析:
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如图所示,在平面直角坐标系中,⊙M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(-6,0),B(0,-8)两点.
(1)请求出直线AB的函数表达式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在⊙M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数表达式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=manfen5.com 满分网S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8).
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
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如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
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(3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标?
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如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至△PEF处时,设PE,PF与OC分别交于点M,N,与x轴分别交于点G,H.
(1)求直线AC所对应的函数关系式;
(2)当点P是线段AC(端点除外)上的动点时,试探究:
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等?请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,在平面直角坐标系中,直线y=-manfen5.com 满分网x-manfen5.com 满分网与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-manfen5.com 满分网x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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