Question

心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有如下关系式：y=（y值越大表示接受能力越强）
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中；
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟；
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

Answer

（1）代入题目中的二次函数即可知道；
（2）由题目可得y=-t2+24t+100化为一般式再求解即可；
（3）要分情况解答该题，把y=180分别代入这两个二次函数等式解答．
【解析】
（1）当t=5时，y=195，当t=25时，y=205
∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．

（2）当0＜t≤10时，y=-t2+24t+100=-（t-12）2+244，
该图的对称轴为t=12，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
所以，当t=10时，y有最大值240，
当10＜t≤20时，y=240
当20＜t≤40时，y=-7t+380，y随t的增大而减小，
故此时y＜240
所以，当t=20时，y有最大值240．
所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟．

（3）当0＜t≤10，令y=-t2+24t+100=180，
∴t=4
当20＜t≤40时，令y=-7t+380=180，
∴t=28.57
因为28.57-4＞24，
所以老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．